Question

已知函数f（x）=xⁿ-

4

x

，且f（4）=3．
（1）求n的值，并判断该函数的奇偶性；
（2）若不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数思想,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性的概念判断，
（2）把不等式的恒成立问题转化为求函f（x）的最值问题解决，而求最值时利用函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（4）=3，
∴4n-

4

4

=3，则n=1.f(x)=x-

4

x

．函数的定义域为 （-∞，0）∪（0，+∞），
又∵f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)，
∴函数f(x)=x-

4

x

是奇函数，
（2）∵函数y=x和y=-

1

x

在[1，+∞）上都是增函数，
∴函数f(x)=x-

4

x

在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（1）=-3．
不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，即不等式a＜f（x）在[1，+∞）上恒成立．
∴a＜-3，
即a的取值范围是（-∞，-3）．

点评：本题考查了函数的奇偶性概念，含有参变量的不等式恒成立问题，构造函数求最值来解决，思路很容易想．