Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．直线l过点A（-2，3），且被圆C₁截得的弦长为2

3

．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）试探究直线l上是否存在点P，使得P到圆C₁的切线PM，到圆C₂的切线PN，满足|PM|=|PN|．若点P存在，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由直线l过点A（-2，3）．故：
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y=k（x+2）+3，求出圆心C₁（-3，1）到直线l的距离d，结合勾股定理可得：

|-k+2|

1+k2

=1，解出k值可得满足条件的直线方程；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=-2，求出直线与圆的交点坐标，判断是否满足题意，
最后综合讨论结果，得到直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）是满足题中要求的点．由|PM|=|PN|结合两点之间距离公式可得：x，y满足2x+y-3=0．
即满足题中要求的点P就是直线2x+y-3=0与直线l的交点，结合（I）中所求直线方程，可得满足条件的点P的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l过点A（-2，3），
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y=k（x+2）+3，
∵圆心C₁（-3，1）到直线l的距离d=

R2-( 2 3 2 )2

=

4-3

=1，
∴

|-k+2|

1+k2

=1，
∴k=

3

4

，
∴直线l的方程为3x-4y+18=0．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=-2，
将x=-2代入圆C₁的方程得（y-1）²=3，
∴y=1±

3

，直线l与C₁的交点为(-2，1-

3

)和(-2，1+

3

)，
这时，直线l被圆C₁截得的弦长为2

3

．
综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+18=0．
（Ⅱ）设P（x，y）是满足题中要求的点．
∵|PM|=|PN|，
∴

|PC1|2- R 2 1

=

|PC2|2- R 2 2

，
∴|PC1|2-4=|PC2|2-1，
∴（x+3）²+（y-1）²-4=（x-3）²+（y-4）²-1，
∴2x+y-3=0．
∴满足题中要求的点P就是直线2x+y-3=0与直线l的交点．
∴由

x=-2 2x+y-3=0

，
解得

x=-2 y=7

，
由

3x-4y+18=0 2x+y-3=0

，
解得

x=- 6 11 y= 45 11

，
综上，当P（-2，7）或P(-

6

11

，

45

11

)时满足题设要求．

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，直线的交点，两点之间的距离公式，是解析几何部分的综合应用，综合性强，计算量大，转化困难，属于难题．