Question

已知向量

OA

=（2，-3），

OB

=（-5，4），

OC

=（1-λ，3λ+2）．
（Ⅰ）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；
（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由∠B是直角，得BA⊥BC，即

BA

•

BC

=0，据此可列出关于λ的方程，解之即可；
（Ⅱ）若三点是三角形的三个顶点，则只需三点A、B、C不共线即可，求出共线时λ的范围，然后取其补集就是所求．

解答： 解：（Ⅰ）因为△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
所以

BA

•

BC

=0，又因为

OA

=（2，-3），

OB

=（-5，4），

OC

=（1-λ，3λ+2），
∴（

OA

-

OB

）•（

OC

-

OB

）=（7，-7）•（6-λ，3λ-2）=0
即8-4λ=0，解得λ=2．
（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线，
∴向量

BA

与

BC

不共线，即-7（3λ-2）≠7（6-λ），
∴实数λ应满足条件λ≠-2．

点评：这是一道向量在研究几何位置关系中的应用，主要考查了利用数量积证垂直，利用向量共线证平行的思路，计算一定要准确．