Question

已知定义域R的函数f（x）为偶函数，且f（x+2）=f（x）对任意实数x恒成立，当0≤x≤1时，f（x）=x．
（1）求当-1≤x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求当x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z）时，函数f（x）的解析式；
（3）求方程f（x）=

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在区间[-1，2013]内的所有解的集合．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当-1≤x＜0时，0≤-x＜1，从而f（x）=f（-x）=-x；
（2）由（1）及已知得当x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z）时，从而f（x）=|x-2k|；
（3）f（x）=

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?|x-2k|=

1

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?x=2k±

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，k∈Z，求出k的范围即可．

解答： 解：（1）当-1≤x＜0时，0≤-x＜1，
∴f（-x）=-x，
∴f（x）=f（-x）=-x，
故当-1≤x＜0时，
∴f（x）=-x；
（2）由（1）及已知得
当-1≤x＜1时f（x）=|x|，
当x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z）时，
x-2k∈[-1，1），
∴f（x-2k）=|x-2k|，
又f（x+2）=f（x），
∴f（x-2k）=f（x），
所以f（x）=|x-2k|．
故f（x）=|x-2k|，x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z），
（3）f（x）=

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?|x-2k|=

1

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?x=2k±

1

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，k∈Z，
故f（x）=y在[-1，2013]内的解集为{x|x=2k±

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，k∈Z，k=0，1，2，…，1006}．

点评：本题考查了根的存在性，考查函数解析式的求法，本题属于中档题．