Question

1．已知函数f（x）=|ax-b|+|x+c|．
（1）当a=c=3，b=1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若a=1，c＞0，b＞0，f（x）_min=1，求$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的解析式，再根据 f（x）_min=1，求得b+c=1，再利用基本不等式求得故$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的 最 小 值．

解答 解：（1）当 a=c=3，b=1 时，f（ x）=|3x-1|+|x+3|，∴不 等 式 f（ x）≥4，可 化 为|3x-1|+|x+3|≥4，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-4x-2≥4}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜\frac{1}{3}}\\{2x-4≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{3}}\\{4x+2≥4}\end{array}\right.$③；
解①求得x≤-3；解②求得x∈∅；解③求得x≥$\frac{1}{2}$．
综上可得，不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤-3，或x≥$\frac{1}{2}$}．
（2）当 a=1，c＞0，b＞0 时，f（ x）=|x-b|+|x+c|≥|x-b-（ x+c）|=|b+c|=b+c，
又 f（x）_min=1，∴b+c=1，∴$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{b+c}{b}$+$\frac{b+c}{c}$=2+$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$≥2+2$\sqrt{\frac{c}{b}•\frac{b}{c}}$=4，当且仅当b=c时，取等号，
故$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的 最 小 值 为 4．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．