Question

【题目】某游戏棋盘上标有第站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；

（2）证明:；

（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析，4；（2）证明见解析；（3）不公平.

【解析】

（1）由题意可知，随机变量的可能取值有根据独立重复实验的概率计算公式求出概率即可.

（2）当时，棋子要到第站，有两种情况：由第站跳1站得到，其概率为；由第站跳2站得到，其概率为，从而，同时加上即可证出.

（3）由（2）可得，由，概率不相等，即可得出结论.

（1）由题意可知，随机变量的可能取值有

，

.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，；

（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：

由第站跳1站得到，其概率为；由第站跳2站得到，其概率为.

所以，.

同时加上得；

（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为,，

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有.

所以，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.