Question

【题目】若椭圆的离心率等于，抛物线的焦点在椭圆的顶点上.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、,当时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由椭圆的离心率的公式和椭圆中的关系，可以求出的值，最后可以求出抛物线的方程；

（2）设出直线的方程，设出、两点坐标，把抛物线方程变成函数解析式形式，对函数进行求导，求出过、的抛物线的切线、的斜率，将直线的方程与抛物线方程联立，消，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，结合两直线垂直它们的斜率的关系进行求解即可.

（1）已知椭圆的长半轴长为，半焦距，

由离心率得，

椭圆的上顶点为，即抛物线的焦点为，，

因此，抛物线的方程为；

（2）由题知直线的斜率存在且不为零，

则可设直线的方程为，、，

抛物线的函数解析式为，求导得，切线、的斜率分别为、，

当时，，即，

由，得，

由，解得或.

又，得.

因此，直线的方程为.