Question

【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，贵阳一中“保护饮用水源地”课题研究小组的同学们对红枫湖、百花湖、阿哈水库、花溪水库、北郊水库5处水源地进行了样本采集并送环保部门进行水质检测.已知5处水源地中有1处被某污染物污染，需要通过检测水源样本来确定被污染的水源地现有三个检測方案：

方案甲：对5个样本逐个检测，直到能确定被污染的水源地为止.

方案乙：先任取1个样本进行检测，若检测到污染物，则检测结束；若未检测到污染物，则在剩余4个样本中任取2个，并将这2个样本取部分混合在一起检测，若检测到污染物，则再在这2个样本中任取一个检测，否则在剩余2个未检测样本中任取一个检测.

方案丙：先任取2个样本，并将这2个样本取部分混合在一起检测，若检测到污染物，则再在这2个样本中任取一个检测；若未检测到污染物，则对剩余3个未检测样本进行逐个检测，直到能确定被污染的水源地为止.假设随机变量分别表示用方案甲、方案乙、方案丙进行检测所需的检测次数.

（1）求能取到的最大值和其对应的概率；

（2）求的期望假设每次检测的费用都相同，请从经济角度说明方案乙和方案丙哪一个更适合？

Answer 1

【答案】（1）的最大值为4，；的最大值为3，；的最大值为3，（2）方案丙更适合

【解析】

（1）根据题意可分析得到用方案甲最多需检测4次,即前3次均未检测到污染物；用方案乙最多需检测3次,即先任取1个样本进行检测时未检测到污染物；用方案丙最多需检测3次,即先任取2个样本混合检测时未检测到污染物,且对剩余3个样本检测时第一次未检测到污染物,分别求得概率即可；

（2）的可能取值为1,3,由（1）可得,即可求得；的可能取值为2,3,由（1）可得,即可求得,比较与,越小的越合适.

解:（1）用方案甲最多需检测4次,即前3次均未检测到污染物,

则的最大值为4,所以；

用方案乙最多需检测3次,即先任取1个样本进行检测时未检测到污染物,

则的最大值为3,；

用方案丙最多需检测3次,即先任取2个样本混合检测时未检测到污染物,且对剩余3个样本检测时第一次未检测到污染物,

则的最大值为3,.

（2）的可能取值为1,3,由（1）可知,所以,

则；

的可能取值为2,3,由（1）可知,所以,

,

因为,所以方案丙所需的检测次数期望较少,所需的检测费用期望较低,所以方案丙更适合.