Question

已知函数f（x）=

1

x

．
（1）若f(a)•(e-1)=

∫

e 1

f(x)dx，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=

∫

t 1

f(x)dx成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．

Answer 1

分析：（1）求出原函数，可得定积分，即可求得a的值；
（2）先求出定积分，再构建函数，即可证明；
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x₀的函数值f（x₀）与该区间长度的积．

解答：解：（1）∵f(a)•(e-1)=

∫

e 1

f(x)dx，∴

1

a

•(e-1)=

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=，1∴a=e-1…（3分）
（2）

∫

t 1

f(x)dx=

∫

t 1

1

x

dx=lnx

|

t 1

=lnt
设

1

a

•(t-1)=lnt，∴a=

t-1

lnt

…（5分）
下面证明a∈[1，t]：a-1=

t-1

lnt

-1=

t-1-lnt

lnt

设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)=1-

1

t

=

t-1

t

＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=

t-1

lnt

-t=

t-1-tlnt

lnt

设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)=1-(1•lnt+t•

1

t

)=-lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=

∫

t 1

f(x)dx成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x₀的函数值f（x₀）与该区间长度的积，即

∫

b a

f(x)dx=f(x0)•(b-a)其中x₀∈[a，b]…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查定积分，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．