Question

10．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{2}&{1}\end{array}]$，若矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，属于特征值4的一个特征向量为α₂=$[\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}]$．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析 通过特征值与特征向量的关系，联立方程组可得矩阵A，进而可得A^-1．

解答 解：由矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α₁=$[{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]$可得，
$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{2}&{1}\end{array}]$$[{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]$=$-1[{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]$，即a-b=-1，
由矩阵A属于特征值4的一个特征向量为α₂=$[{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}]$，
可得$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{2}&{1}\end{array}]$$[{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}]$=$4[{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}]$，即3a+2b=12，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}}\right.$，即A=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，
∴A的逆矩阵A^-1=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}}&{\frac{3}{4}}\\{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}]$．

点评 本题考查逆变换与逆矩阵，注意解题方法的积累，属于中档题．