Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，△ABC的周长为2$\sqrt{3}$+2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）-2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=$\frac{1}{2}$，可得角C的大小；
（2）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．

解答 解：（1）∵在△ABC中，ccosB=（2a-b）cosC，
∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
∴sin（B+C）=2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1-2cosC）=0，可得cosC=$\frac{1}{2}$．
又∵C是三角形的内角，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，a+b+c=2$\sqrt{3}$+2，c=2，可得：a+b=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=12-3ab，解得：ab=$\frac{8}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题求角C的大小并依此求三角形面积，着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题．