Question

3．设函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3），
（1）画出这个函数的图象；
（2）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；
（3）求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）化为分段函数，根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
（2）由图象可得函数得到f（x）的单调区间，
（3）由图象可得函数的值域．

解答 解：（1）当x≥0时，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
当x＜0时，f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2，
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
（2）函数f（x）的单调区间为
[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在区间[-3，-1）和[0，1）上为减函数，
在[-1，0），[1，3]上为增函数．
（3）当x≥0时，函数f（x）=（x-1）²-2的最小值为-2，
最大值为f（3）=2；
当x＜0时，函数f（x）=（x+1）²-2的最小值为-2，
最大值为f（-3）=2．
故函数f（x）的值域为[-2，2]．

点评 本题考查了函数的图象的画法和二次函数的最值问题，属于中档题．