Question

14．已知函数f（x）=|2x-1|+a|x-1|
（I）当a=1时，解关于x的不等式f（x）≥4
（II）若f（x）≥|x-2|的解集包含[$\frac{1}{2}$，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞4的解集．
（Ⅱ）f（x）≥|x-2|的解集包含[$\frac{1}{2}$，2]，即为a|x-1|≥3-3x对x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，分类解得即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2，x＜\frac{1}{2}}\\{x，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{3x-2，x＞1}\end{array}\right.$，
∵f（x）≥4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2≥4}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3x-2≥4}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得x≤-$\frac{2}{3}$或x≥2，
故不等式的解集为（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[2，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）≥|x-2|的解集包含[$\frac{1}{2}$，2]，
∴a|x-1|≥3-3x对x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立
当$\frac{1}{2}$≤x＜1时，a（1-x）≥3-3x，
解得a≥3，
当1≤x≤2时，a（x-1）≥3-3x，
解得a≥-3，
综上：a≥3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．