Question

5．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），则椭圆上一点A（x₀，y₀）处的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其焦距为2，且过点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．点B为椭圆C₁在第一象限中的任意一点，过B作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 依题意得：椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），可得c=1，代入点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．计算即可求出a，b，从而可求椭圆C₁的方程；设B（x₂，y₂），求得椭圆C₁在点B处的切线方程，分别令x=0，y=0，求得截距，由三角形的面积公式，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值．

解答 解：由椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），可知焦点在x轴，2c=2，即c=1，
∴a²-b²=1，代入点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，可得$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：b=1，则a²=2
即有椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
设B（x₂，y₂），
则椭圆C₁在点B处的切线方程为：$\frac{{x}_{2}}{2}$x+y₂y=1
令x=0，y_D=$\frac{1}{{y}_{2}}$，令y=0，可得x_C=$\frac{2}{{x}_{2}}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{y}_{2}}$•$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$，
又点B在椭圆的第一象限上，
∴x₂＞0，y₂＞0，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$+y₂²=1，
即有$\frac{1}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△OCD≥$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$=y₂²=$\frac{1}{2}$时，取最小值，
∴当B（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，三角形OCD的面积的最小值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的最值的求法，基本不等式的性质，椭圆切线方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．