Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x²－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．

Answer 1

（1）x²＋y²－2x＋2y-3＝0（2）

解析试题分析：（1）曲线y＝x²－2x－3与坐标轴的交点有三个交点，本题就是求过三个点的圆的方程，因此设圆方程的一般式x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，若从图形看，则圆的方程又可设成x²＋y²－2x＋Ey-3＝0，再利用过点求出（2）先将圆的一般式化为标准式：，明确圆心和半径，涉及圆的弦长问题，利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形，列等量关系：
试题解析：解 （1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x²－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．
即曲线与x轴的交点是(－1，0)，(3，0)．                    2分
设所求圆C的方程是x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．
所以圆C的方程是x²＋y²－2x＋2y-3＝0．                  5分
（2）圆C的方程可化为，
所以圆心C(1，－1)，半径．                           7分
圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离，由于
所以，解得．                    10分
考点：圆的一般式方程，圆的弦长