【题目】已知等差数列
的前
项的和为
，公差
，若
，
，
成等比数列，
；数列
满足：对于任意的
，等式
都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）若数列
满足
，试问是否存在正整数
，
（其中
），使
，
，
成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组
；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 
;(2)见解析；（3）见解析.
【解析】分析：（1）根据已知解方程组得
，即得数列
的通项公式.（2）利用作差法化简
即得
，即证明数列
是等比数列.(3)先化简
,再化简
，
，
成等比数列,对s分类讨论得解.
详解：（1）设数列公差为
，由题设得
即
解得
∴数列的通项公式为：
.
（2）∵
∴
，①
∴
，②
由②-①得
，③
∴
，④
由④-③得
，
由①知
，
，∴.
又
，∴数列是等比数列.
（3）假设存在正整数
，
（其中
），使，，成等比数列，则
，
，
成等差数列.
由（2）可知：
，∴
.
于是，
.
由于
，所以
因为当
时，
，即
单调递减，
所以当
时，
，不符合条件，
所以
或
，
又，所以
，所以
当时，得
，无解，
当时，得
，所以
，
综上：存在唯一正整数数组
，使，，成等比数列.
口算心算速算应用题系列答案
同步拓展阅读系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点
为顶点，
轴的非负半轴为始边，若终边经过点
，且
，定义：
，称“
”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数
”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为
； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线
对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为
；
⑤该函数的递增区间为
.
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
(
为实常数) ．
（I）当
时，求函数
在
上的最大值及相应的
值；
（II）当
时，讨论方程
根的个数．
（III）若
，且对任意的
，都有
，求
实数a的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图,四边形
中, 
= 
=
= 
分别在
上, 
,现将四边形
沿
折起,使
.
(1)若
,在折叠后的线段
上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(2)求三棱锥
的体积的最大值,并求出此时点
到平面
的距离.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知向量
，函数
的最小值为
.
（1）当
时，求的值；
（2）求；
（3）已知函数
为定义在上的增函数，且对任意的
都满足
，问：是否存在这样的实数
，使不等式
对所有
恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
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