Question

【题目】已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等比数列；

（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析；（3）见解析.

【解析】分析：（1）根据已知解方程组得，即得数列的通项公式.（2）利用作差法化简

即得，即证明数列是等比数列.(3)先化简,再化简，，成等比数列,对s分类讨论得解.

详解：（1）设数列公差为，由题设得

即解得

∴数列的通项公式为：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由②-①得，③

∴，④

由④-③得，

由①知，，∴.

又，∴数列是等比数列.

（3）假设存在正整数，（其中），使，，成等比数列，则，，成等差数列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因为当时，，即单调递减，

所以当时，，不符合条件，

所以或，

又，所以，所以

当时，得，无解，

当时，得，所以，

综上：存在唯一正整数数组，使，，成等比数列.