【题目】如图:在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点
(1)求证:BD1∥平面AEC
(2)求证:AC⊥BD1 .
【答案】证明:(1)连接BD交AC于F,连EF.
因为F为正方形ABCD对角线的交点,
所长F为AC、BD的中点.
在DD1B中,E、F分别为DD1、DB的中点,
所以EF∥D1B.
又EF平面EAC,所以BD1∥平面EAC.
(2)由正方形的性质可得AC⊥BD
又由正方体的几何特征可得:D1D⊥平面ABCD
又∵AC平面ABCD
∴AC⊥D1D
又∵D1D∩BD=D
∴AC⊥平面D1DB
∵BD1平面D1DB
∴AC⊥BD1
【解析】(1)欲证BD1∥平面EAC,只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行,根据中位线定理可知EF∥D1B,满足线面平行的判定定理所需条件,即可得到结论;
(2)根据正方形的性质及正方体的几何特征,结合线面垂直的性质,可得AC⊥BD,AC⊥D1D,由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB,再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1
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【题目】现有正整数构成的数表如下:
第一行:1
第二行:1 2
第三行:1 1 2 3
第四行:1 1 2 1 1 2 3 4
第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5
…… …… ……
第行:先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第行,最后添上数.(如第四行,先抄写第一行的数1,接着按原序抄写第二行的数1,2,接着按原序抄写第三行的数1,1,2,3,最后添上数4).
将按照上述方式写下的第个数记作(如)
(1)用表示数表第行的数的个数,求数列的前项和;
(2)第8行中的数是否超过73个?若是,用表示第8行中的第73个数,试求和的值;若不是,请说明理由;
(3)令,求的值.
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【题目】已知点是椭圆: 上的一点,椭圆的右焦点为,斜率为的直线交椭圆于、两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线, 的斜率之和为定值.
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【题目】已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a、b应满足的条件.
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【题目】定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函f(x)的一个上界.已知函数f(x)=1+a+ , g(x)= .
(1)若函数g(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求函数g(x),在区间[ , 3]上的所有上界构成的集合;
(3)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
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【题目】如图所示的是一个几何体的直观图和三视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形).
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若G为BC上的动点,求证:AE⊥PG.
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【题目】在正方体中, 为棱上一动点, 为底面上一动点, 是的中点,若点都运动时,点构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是( )
A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分
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【题目】已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点,
(1)求圆方程;
(2)是否存在过点的直线与圆交于两点,且的面积是(为坐标原点),若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
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