Question

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

Answer 1

解：（1）设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
由余弦定理可得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4，
整理变形可得|AM|+|BM|=4，
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由得：（3m²+4）y²+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有S=×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-，y₁y₂=-
（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×
令t=3m²+3，则t≥3，（y₁-y₂）²=
由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥
故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3
分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理求得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4整理求得|AM|+|BM|为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b可求，进而求得椭圆的方程．
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而求得（y₁-y₂）²的表达式，令t=3m²+3，利用y=t+的单调性求得（y₁-y₂）²的范围，进而代入三角形面积公式求得面积的最大值．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，故此类题平时应注意多加训练．