Question

已知函数f（x）=sinx（cosx-

3

sinx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）将函数y=sin2x的图象向左平移a（0＜a＜

π

2

）个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求a，b的值；
（3）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，易得函数f（x）的最小正周期；（2）由函数图象平移的规律比较系数可得；（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解不等式可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sinx（cosx-

3

sinx）
=sixcosx-

3

sin²x=

1

2

sin2x-

3

2

（1-cos2x）
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）将函数y=sin2x的图象向左平移a（0＜a＜

π

2

）个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象
∴f（x）=sin（2x+2a）-b，比较f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

可得a=

π

6

，b=

3

2

；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．（k∈Z）

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性以及图象变换，属基础题．