Question

函数f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）写出f（x）的单调减区间，并判断f（x）有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（不需要说明理由）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的定义即可求得b=0，根据f（

1

2

）=

2

5

可求出a=1，所以便可求出f（x）的解析式；
（2）根据单调性的定义即可证明函数f（x）在（-1，1）上单调递增；
（3）根据基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，所以分成x＞0和x＜0，从而用上基本不等式，并能求函数f（x）的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数；
∴f（-x）=-f（x），∴

-ax+b

x2+1

=

-ax-b

x2+1

，∴-ax+b=-ax-b，∴b=0；
∴f(x)=

ax

x2+1

，f（

1

2

）=

a 2

1 4 +1

=

2

5

，∴a=1；
∴f(x)=

x

x2+1

（2）设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂则：
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-(x12+1)x2

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即：f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）由（2）知，x₁，x₂∈（1，+∞）或（-∞，-1）时，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0，∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）的单调减区间为（1，+∞），（-∞，-1）；
x＞0时，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，∵x+

1

x

≥2，∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，∴函数f（x）的最大是

1

2

；
x＜0时，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

=-

1

-x+ 1 -x

，-x＞0，-x+

1

-x

≥2，0＜

1

-x+ 1 -x

≤

1

2

，-

1

2

≤-

1

-x+ 1 -x

＜0，∴函数f（x）最小值是-

1

2

；
∴函数f（x）的最大值为

1

2

，最小值为-

1

2

．

点评：考查奇函数的定义，单调性的定义，根据单调性的定义求单调区间，根据基本不等式求函数的最值．