Question

如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°．在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去．该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C、D两处距离为21千米．
（1）求cos∠CDB的值；
（2）此车在D处停下时距城A多少千米？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）在△CDB中，由余弦定理得：cos∠CDB=

CD2+BD2-BC2

2CD×BD

，由此能求出cos∠CDB的值．
（2）sin∠ACD=sin（∠CDB-60°）=

5 3

14

，由正弦定理得：AD=

CD•sin∠ACD

sin∠CAD

，由此能求出此车在D处停下时距城A处距离．

解答： 解：（1）在△CDB中，
由余弦定理得：
cos∠CDB=

CD2+BD2-BC2

2CD×BD

=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

．（5分）
（2）sin∠ACD=sin（∠CDB-60°）
=sin∠CDBcos60°-cos∠CDBsin60°=

5 3

14

，（7分）
由正弦定理得：AD=

CD•sin∠ACD

sin∠CAD

=

21× 5 3 14

3 2

=15，（9分）
∴此车在D处停下时距城A处15千米．（10分）

点评：本题考查解三角形在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理和正弦定理的合理运用．