Question

已知函数f（x）=lg（x²-2x+m），其中m∈R，且m为常数．
（1）求这个函数的定义域； 
（2）函数f（x）的定义域与值域能否同时为实数集R？证明你的结论．
（3）函数f（x）的图象有无平行于y轴的对称轴？证明你的结论．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的性质即可求这个函数的定义域； 
（2）根据对数函数的性质判断函数f（x）的定义域与值域．
（3）根据函数对称性的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）由x²-2x+m＞0，且△=4（1-m）
当△＞0，即m＜1时，x＞1+

1-m

或x＜1-

1-m

当△=0，即m=1时，x≠1
当△＜0，即m＞1时，x∈R
综上，当m＞1时，f（x）定义域为R，
当m=1时，f（x）定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
当m＜1时，f（x）定义域为(-∞，1-

1-m

)∪(1+

1-m

，+∞)
（2）由（1）知，要使函数f（x）的定义域为R，须m＞1，
要使函数f（x）的值域为R，须△=4-4m≥0，即 m≤1
两者同时成立须

m＞1 m≤1

，m无解，即不可能f（x）的定义域与值域能否同时为实数集R．
（3）设存在直线x=a（a≠0），满足f（x）=f（2a-x），
∴lg（x²-2x+m）=lg[（2a-x）²-2（2a-x）+m]
化简得（1-a）（x-a）=0∴a=1
故函数f（x）的图象有平行于y轴的对称轴x=1．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，综合考查对数函数的定义域，值域，对称性的应用．