Question

12．已知在平面直角坐标系中，点M（x，y）到两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比等于$\frac{1}{2}$．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）已知点P（x，y）为所求轨迹上任意一点，求2x²+y²的最大值．

Answer 1

分析 （1）有题意可知：$\frac{丨MO丨}{丨MA丨}$=$\frac{1}{2}$，根据点到直线的距离公式：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理可得（x+1）²+y²=4，因此求得M的轨迹方程及轨迹的形状；
（2）由圆的方程可知：-3≤x≤1，将P代入圆方程，求得y²=-x²-2x+3，代入由二次函数图象及性质，即可求得2x²+y²的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：$\frac{丨MO丨}{丨MA丨}$=$\frac{1}{2}$，由点到直线的距离公式，可得：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化简整理得：x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4，
∴点M的轨迹方程（x+1）²+y²=4，轨迹是以（-1，0）为圆心，以2为半径的圆；
（2）由（1）可知，P（x，y）为圆（x+1）²+y²=4上任意一点，
∴-3≤x≤1，
由y²=-x²-2x+3，
∴2x²+y²=2x²+（-x²-2x+3）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴当x=-3时，y=0时，
2x²+y²的最大值18．

点评 本题考查圆的轨迹方程，点到直线的距离公式，一元二次函数的图象与性质及在闭区间上的最值，考查计算能力，属于中档题．