Question

20．设a为$f（x）=\frac{4}{3}{x^3}+2{x^2}-3x-1$的极值点，且函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＜0）}\\{lo{g}_{a}x（x≥0）}\end{array}\right.$，则$g（\frac{1}{4}）+g（{log_2}\frac{1}{5}）$=（　　）

• A． $\frac{9}{20}$
• B． 8
• C． $\frac{11}{5}$
• D． 7

Answer 1

分析 求出函数的极值点，得到分段函数，然后求解函数值即可．

解答 解：$f（x）=\frac{4}{3}{x^3}+2{x^2}-3x-1$，可得f′（x）=4x²+4x-3，令f（x）=0，可得4x²+4x-3=0解得x=$\frac{1}{2}$，或x=-$\frac{3}{2}$，
a为$f（x）=\frac{4}{3}{x^3}+2{x^2}-3x-1$的极值点，可得a=$\frac{1}{2}$．
函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＜0）}\\{lo{g}_{a}x（x≥0）}\end{array}\right.$，即：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$，
$g（\frac{1}{4}）+g（lo{g}_{2}\frac{1}{5}）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}+（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}\frac{1}{5}}$=2+5=7．
故选：D．

点评 本题考查函数的极值的求法，分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．