Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=7，S₁₂＞0，S₁₃＜0，则下列命题正确的是①③④⑤（写出序号）．
①$-2＜d＜-\frac{7}{4}$；   
②a₁可能为整数；
③a₆+a₇＞0；  
④a₆＞0，a₇＜0；
⑤在S_n中S₆的值最大．

Answer 1

分析 由a₃=7，S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用求和公式可得：d＜0，a₆＞0，a₇＜0．由a₃=a₁+2d=7，可得a₁+5d=7-2d+5d＞0，a₁+6d=7-2d+6d＜0，解得$-2＜d＜-\frac{7}{4}$．a₁=7-2d∈$（\frac{21}{2}，11）$，不可能为整数．

解答 解：∵a₃=7，S₁₂＞0，S₁₃＜0，
∴$\frac{12（{a}_{1}+{a}_{12}）}{2}$=6（a₆+a₇）＞0，$\frac{13（{a}_{1}+{a}_{13}）}{2}$=13a₇＜0，
∴d＜0，a₆＞0，a₇＜0．
∵a₃=a₁+2d=7，∴a₁+5d=7-2d+5d＞0，a₁+6d=7-2d+6d＜0，
解得$-2＜d＜-\frac{7}{4}$．
a₁=7-2d∈$（\frac{21}{2}，11）$，不可能为整数．
可得：①③④⑤正确．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．