Question

6．若直线ax+（a-2）y+4-a=0把区域$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+4≥0}\\{3x+y≤9}\\{x+2y≥3}\end{array}}\right.$分成面积相等的两部分，则$\frac{y}{x+4a}$的最大值为2．

Answer 1

分析 根据条件求出直线恒过定点C（-1，2），根据面积相等得到直线过AB的中点，求出a的值，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：由ax+（a-2）y+4-a=0得a（x+y-1）+4-2y=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{4-2y=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即直线恒过C（-1，2），
若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4=0}\\{3x+y=9}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（1，6），
∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y-1）+4-2y=0，
得4a-2=0，
则$a=\frac{1}{2}$，则$\frac{y}{x+4a}=\frac{y}{x+2}$的几何意义是区域内的点到点（-2，0）的斜率，
由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，直线恒过定点以及三角形面积相等的应用，直线斜率的计算，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键．