对于项数为m的有穷数列{an}.记bk=max{a1.a2.-.ak}.即bk为a1.a2.-.ak中的最大值.并称数列{bk}是{an}的控制数列．如1.3.2.5.5的控制数列是1.3.3.5.5．(I)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2.3.4.5.5.写出所有符合条件的数列{an},(II)设m=100.若an=|2n-4|.{bn}是{an}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

6．对于项数为m的有穷数列{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并称数列{b_k}是{a_n}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．
（I）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有符合条件的数列{a_n}；
（II）设m=100，若a_n=|2n-4|，{b_n}是{a_n}的控制数列，求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）的值；
（III）设{b_n}是{a_n}的控制数列，满足a_k+b_m-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m）．
求证：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．

分析（Ⅰ）根据控制数列的定义，进行列举即可得到数列{a_n}；
（Ⅱ）确定b₁=a₁=2，a₂=0，b₂=2，n≥3时，总有b_n=a_n，从而求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）的值；
（Ⅲ）依题意可得b_k+1≥b_k，根据a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，证明a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即证得结论．

解答解：（I）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，
则数列{a_n}可能为：
①2，3，4，5，1；
②2，3，4，5，2；
③2，3，4，5，3；
④2，3，4，5，4；
⑤2，3，4，5，5．…（2分）
（II）∵a_n=|2n-4|，{b_n}是{a_n}的控制数列，
∴b₁=a₁=2，a₂=0，b₂=2．
当n≥3时，b_n=a_n，
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=2．…（5分）
证明：（III）因为b_k=max{a₁，a₂，…a_k}，
b_k+1=max{a₁，a₂，…a_k，a_k+1}，
所以b_k+1≥b_k．…（6分）
因为a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
所以a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，
即a_k+1≥a_k．…（7分）
因此，b_k=a_k．…（8分）

点评本题考查数列的应用，考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

16．C${\;}_{2}^{1}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{3}$+C${\;}_{5}^{4}$+…+C${\;}_{100}^{99}$=5049．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

17．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是平面向量，如果|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{6}$，|${\overrightarrow b}$|=$\sqrt{3}$，（${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$）⊥（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$），那么$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的数量积等于（　　）

A．

-2

B．

-1

C．

D．

3$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

14．若P=$\sqrt{7}$-1，Q=$\sqrt{11}$-$\sqrt{5}$，则P与Q的大小关系是P＞Q．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

1．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

11．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（　　）

A．

$\frac{1}{20}$

B．

$\frac{1}{10}$

C．

$\frac{1}{5}$

D．

$\frac{2}{5}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

18．设f（x）=e^x-ax²，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．
（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；
（2）设h（x）=f（x）-g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

15．若集合A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，C={1，3，4，5，9}，则集合（A∪B）∩C的子集个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

16．已知函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学