Question

5．在△ABC中，若cos²$\frac{C}{2}$=1-cosAcosB，则△ABC一定是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 正三角形

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得cos（A-B）=1，结合三角形角的范围可得．

解答 解：在△ABC中，∵在△ABC中cosAcosB=1-cos²$\frac{C}{2}$=-$\frac{1+cosα}{2}$+1，
∴cosAcosB=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosC，
∴2cosAcosB=-cosC+1=cos（A+B）+1，
∴2cosAcosB=cosAcosB-sinAsinB+1，
∴cosAcosB+sinAsinB=1，
∴cos（A-B）=1，∴A-B=0，即A=B，
∴△ABC一定是等腰三角形
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角形形状的判定，属基础题．