Question

7．已知抛物线C：y²=4x，直线l：$y=\frac{1}{2}x+b$与C交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；
（2）是否存在直线l使得直线OA⊥OB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据韦达定理得到x₁+x₂=18，继而求出|AB|=x₁+x₂+2=20，
（2）假设直线y=$\frac{1}{2}$x+b，根据正弦垂直得到x₁•x₂+y₁•y₂=0，根据韦达定理得到x₁+x₂=4（4-b），x₁•x₂=4b²，即可求出b的值，问题得以解决．

解答 解：（1）∵F（1，0），
∴l：$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
消去y得：x²-18x+1=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=18，
∴|AB|=x₁+x₂+2=20
（2）∵OA⊥OB，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$，
消去y得：x²+4（b-4）x+4b²=0
由△=16（b-4）²-16b²＞0得：b＜2
又 x₁+x₂=4（4-b），x₁•x₂=4b²，
∴${y_1}{y_2}=\frac{{{x_1}+2b}}{2}•\frac{{{x_2}+2b}}{2}$=$\frac{1}{4}[{{x_1}{x_2}+2b（{x_1}+{x_2}）+4{b^2}}]=8b$
∴x₁•x₂+y₁•y₂=4b²+8b=0⇒b=0（舍）或b=-2
∴l：$y=\frac{1}{2}x-2$，即x+2y-4=0．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理，考查运算能力，属于中档题