Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n=2a_n+1-1（n∈N^*），令b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{a}_{{2}^{n}+1}}{{a}_{{2}^{n}}}$，求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 （I）a_n+1a_n=2a_n+1-1（n∈N^*），b_n=a_n-1，即a_n=b_n+1．代入化为：$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=-1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：a_n=b_n+1=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．代入c_n=$\frac{{a}_{{2}^{n}+1}}{{a}_{{2}^{n}}}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}）$，由于n≥2时，2ⁿ+2≤2ⁿ⁺¹-1，可得$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}$＜$\frac{1}{{2}^{n}-1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”、数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：∵a_n+1a_n=2a_n+1-1（n∈N^*），b_n=a_n-1，即a_n=b_n+1．
∴（b_n+1+1）（b_n+1）=2（b_n+1+1）-1，化为：$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$是等差数列，首项为-2，公差为-1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2-（n-1）=-1-n，∴b_n=-$\frac{1}{n+1}$．
（II）证明：由（I）可得：a_n=b_n+1=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴c_n=$\frac{{a}_{{2}^{n}+1}}{{a}_{{2}^{n}}}$=$\frac{\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}+1+1}}{\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}}$=$\frac{（{2}^{n}+1）^{2}}{{2}^{n}（{2}^{n}+1）}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}）$，
∵n≥2时，2ⁿ+2≤2ⁿ⁺¹-1，∴$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+2}$＜$\frac{1}{{2}^{n}-1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴c₁+c₂+…+c_n≤n+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=n+$\frac{7}{24}$-$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$＜n+$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．