Question

3．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA₁=$\sqrt{2}$，M为A₁B₁的中点，则AM与平面AA₁C₁C所成角的正切值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 法1．取A₁C₁的中点D，连接DM，则∠MAD是AM与平面AA₁C₁C所的成角，
法2：以C₁点坐标原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分另求出直线AM的方向向量与平面AA₁C₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出AM与平面AA₁C₁C所成角的正切值．

解答 解：法1：取A₁C₁的中点D，连接DM，
则DM∥C₁B₁，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA₁C₁C，
则∠MAD是AM与平面AA₁C₁C所的成角，
则DM=$\frac{1}{2}$，AD=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
则tan∠MAD=$\frac{DM}{AD}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$．
法2：以C₁点坐标原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA₁=$\sqrt{2}$，M为A₁B₁的中点，
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，0）为平面AA₁C₁C的一个法向量
设AM与平面AA₁C₁C所成角为θ
则sinθ=|$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AM}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
则tanθ=$\frac{1}{3}$
故选：A

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．