Question

11．已知定义在（0，+∞）上的函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0＜x≤1\\-{x^2}+2ax-（2a-1），\;\;\;x＞1\end{array}\right.$（其中$a＞\frac{3}{2}$），
（Ⅰ）若当且仅当b∈（0，1）时，方程f（x）=b有三个不等的实根，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=|f（x）|在$[\frac{1}{2}，3a-4]$上的最大值为M（a），求M（a）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
（Ⅱ）作出g（x）的图象，讨论a的取值，结合函数最值的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意f（1）=0，当x＞1时，f（x）=-x²+2ax-（2a-1）=-（x-a）²+（a-1）²=-（x-1）[x-（2a-1）]，
所以f（2a-1）=0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，
由于当且仅当b∈（0，1）时，方程f（x）=b有三个等的实根，
故f（a）=（a-1）²=1，解得a=2．

（Ⅱ）
（1）当$\frac{1}{2}＜3a-4≤1$，即$\frac{3}{2}＜a≤\frac{5}{3}$时，g（x）在$[\frac{1}{2}，3a-4]$上单调递减，
所以$M（a）=g（\frac{1}{2}）=1$；
（2）当1＜3a-4≤a，即$\frac{5}{3}＜a≤2$时，g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上单调递减，在（1，3a-4]上单调递增，
故$M（a）=max\{g（\frac{1}{2}），g（3a-4）\}=max\{1，-3{a^2}+14a-15\}$，
令h（a）=-3a²+14a-15在$（\frac{5}{3}，2]$上为增函数，故h（a）≤h（2）=1，所以$M（a）=g（\frac{1}{2}）=1$；
（3）当a＜3a-4≤2a-1，即2＜a≤3时，g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上单调递减，在（1，a]上单调递增，在（a，3a-4]上单调递减，
故$M（a）=max\{g（\frac{1}{2}），g（a）\}=max\{1，{（a-1）^2}\}$，
而当2＜a≤3时，（a-1）²＞1，故M（a）=g（a）=（a-1）²；
（4）当3a-4＞2a-1，即a＞3时，g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上单调递减，在（1，a]上单调递增，在（a，2a-1]上单调递减，在（2a-1，3a-4]上单调递增，$g（\frac{1}{2}）=1$，g（a）=（a-1）²，
g（3a-4）=3a²-14a+15，当a＞3时，$g（a）＞g（\frac{1}{2}）$，
故M（a）=max{g（a），g（3a-4）}=max{（a-1）²，3a²-14a+15}，
①当（a-1）²≥3a²-14a+15，即$3＜a≤3+\sqrt{2}$时，M（a）=（a-1）²；
②当（a-1）²＜3a²-14a+15，即$a＞3+\sqrt{2}$时，M（a）=3a²-14a+15，
综上所述：$M（a）=\left\{\begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{3}{2}＜a≤2\\{（a-1）^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2＜a≤3+\sqrt{2}\\ 3{a^2}-14a+15\;\;\;a＞3+\sqrt{2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查分段函数的应用以及根的个数的判断，利用数形结合以及分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．