Question

20．已知双曲线M的焦点F₁，F₂在x轴上，直线$\sqrt{7}x+3y=0$是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，如果抛物线y²=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么$|\overrightarrow{P{F_1}}|•|\overrightarrow{P{F_2}}|$=（　　）

• A． 21
• B． 14
• C． 7
• D． 0

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，可得c=4，即a²+b²=16，由渐近线方程可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=16x的准线为x=-4，
由题意可得双曲线M的一个焦点为（-4，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=4，即a²+b²=16，
直线$\sqrt{7}x+3y=0$是双曲线M的一条渐近线，
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
解得a=3，b=$\sqrt{7}$，
可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得
|PF₁|-|PF₂|=2a=6，①
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=64，②
②-①²，可得|PF₁|•|PF₂|=14．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查勾股定理和抛物线的方程和性质的运用，以及运算能力，属于中档题．