Question

8．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据题意，设虚轴的一个端点M（0，b），结合焦点F₁、F₂的坐标和∠F₁MF₂=120°，得到c=$\sqrt{3}$b，再用平方关系化简得c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
可得虚轴的一个端点M（0，b），F₁（-c，0），F₂（-c，0），
设∠F₁MF₂=120°，得c=$\sqrt{3}$b，
平方得c²=3b²=3（c²-a²），
可得3a²=2c²，
即c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题给出双曲线两个焦点对虚轴一端的张角为120度，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．