Question

6．若数列{a_n}满足：a₁=0，a₂=3且（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-n十1（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}满足b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1，则数列{b_n}的最大项为第6项．

Answer 1

分析 通过（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-n十1（n∈N^*，n≥2）与na_n+2=（n+2）a_n+1-n作差、两边同时除以n（n+1），整理得$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}-1}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法计算可知a_n-a_n-1=2n-1（n≥2），进而利用累加法可知a_n=n²-1，化简可知b_n=n（n+1）•（$\frac{8}{11}$）^n-1，从而问题转化求当x＞0时函数f（x）=x（x+1）•（$\frac{8}{11}$）^x-1的最大值，利用导数有关知识计算即得结论．

解答 解：∵（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-n十1（n∈N^*，n≥2），
∴na_n+2=（n+2）a_n+1-n，
两式相减，得：na_n+2-na_n+1=（n+1）a_n+1-（n+1）a_n-1，
两边同时除以n（n+1），整理得：$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}-1}{n+1}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}-1}{n}$（n∈N^*，n≥2），
又∵a₁=0，a₂=3，a₃=3a₂-1=8，
∴$\frac{{a}_{3}-{a}_{2}-1}{2}$=2，$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}-1}{1}$=2，
∴$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}-1}$=$\frac{n+1}{n}$，
由累乘法可知a_n-a_n-1-1=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}-{a}_{n-2}-1}$•$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n-2}-1}{{a}_{n-2}-{a}_{n-3}-1}$•…•$\frac{{a}_{3}-{a}_{2}-1}{{a}_{2}-{a}_{1}-1}$•$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}-1}{1}$
=$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$•2
=2（n-1），
∴a_n-a_n-1=1+2（n-1）=2n-1（n≥2）
由累加法可知：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=（2n-1）+[2（n-1）-1]+…+（2×3-1）+（2×2-1）
=2（2+3+…+n）-（n-1）
=2•$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$-n+1
=n²-1（n≥2），
又∵a₁=0满足上式，
∴a_n=n²-1，
∴b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1
=n（n+1）•（$\frac{8}{11}$）^n-1，
令f（x）=x（x+1）•（$\frac{8}{11}$）^x-1，通过求导、计算可得草图如图，
故数列{b_n}的最大项为第6项，
故答案为：6．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法、累加法计算数列的通项公式，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于难题．