Question

17．已知双曲线Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，第二象限的点P，Q在双曲线的渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，若△MPQ为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．

Answer 1

分析 由双曲线的一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，P的坐标为（m，-$\frac{b}{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，运用等边三角形的高为底边的$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简整理，可得a，b的关系式，即可得到所求双曲线的渐近线的方程．

解答 解：由双曲线的一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
P的坐标为（m，-$\frac{b}{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得：
Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），
P，Q的中点为H（2m，-$\frac{2bm}{a}$），M（-a，0），
由MH⊥PQ，可得$\frac{-\frac{2bm}{a}}{2m+a}$=$\frac{a}{b}$，
解得m=-$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，
可得|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4{b}^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由等边三角形MPQ可得，
|MH|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PQ|，
即有$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查向量共线的坐标表示，以及点到直线的距离公式和两直线垂直的条件，以及化简整理的运算能力，属于中档题．