Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（1）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）将切化弦化简即可得出sin²B=sinAsinC，利用正弦定理得出b²=ac；
（2）由条件得accosB=4，带入余弦定理得出b²=a²+c²-8，结合（1）的结论有a²+c²-8=ac，利用基本不等式得出ac的范围，得出（a+c）²的范围，从而得出a+c的范围．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
∴sinB（$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinC}{cosC}$）=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，即sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，
∴sin²B=sinAsinC．
∴b²=ac．
∴a，b，c成等比数列．
（2）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，∴accosB=4，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-8=ac．
∴a²+c²=ac+8≥2ac，
∴ac≤8．
∵（a+c）²=a²+c²+2ac=3ac+8≤32．
∴a+c≤4$\sqrt{2}$．
即a+c的最大值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．