Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=2，过原点的直线l与双曲线相交于A，B两点，M为双曲线上不同于A，B的点，且直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁•k₂=3．

Answer 1

分析 由于A，B连线经过坐标原点，得出A，B关于原点对称，根据离心率求出a、b、c的关系，即可求出直线MA，MB的斜率乘积．

解答 解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x，y），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1①，
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1②，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}{-x}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{-y}^{2}}{{b}^{2}}$，
即$\frac{{y}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$；
又该双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=2，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-y}{{x}_{1}-x}$•$\frac{{y}_{2}-y}{{x}_{2}-x}$=$\frac{{y}_{1}-y}{{x}_{1}-x}$•$\frac{{-y}_{1}-y}{{-x}_{1}-x}$=$\frac{{y}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了双曲线的几何性质与应用问题，解题的关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，是综合性题目．