Question

7．在△ABC中，D为边BC上一点，CD=2BD，∠ADB=120°，AD=2，且△ADC的面积为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求cos（2B-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求∠ADC=60°，利用三角形面积公式可求DC，由已知可求BD，由余弦定理可求AB的值，利用正弦定理即可解得sinB的值．
（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B的值，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解cos（2B-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵∠ADB=120°，∴∠ADC=60°．
∵AD=2，
∴由S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\sqrt{3}$，得DC=2，…（3分）
∵BD=$\frac{1}{2}$DC，∴BD=1，BC=3．
在△ABD中，由余弦定理得AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB=7，
∴AB=$\sqrt{7}$，
由正弦定理得$\frac{AD}{sinB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，∴sinB=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$． …（7分）
（Ⅱ）∵sinB=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，且B为锐角，∴cosB=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴sin2B=2sinBcosB=$\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，cos2B=2cos²B-1=$\frac{1}{7}$，…（11分）
∴cos（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos2B+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2B=$\frac{13}{14}$．…（13分）

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，倍角公式以及两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．