Question

6．已知直线l：y=x+n与椭圆G：（3-m）x²+my²=m（3-m）交于两点B，C．
（Ⅰ）若椭圆G的焦点在y轴上，求m的取值范围；
（Ⅱ）若A（0，1）在椭圆上，且以BC为直径的圆过点A，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化椭圆方程为标准方程，由题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3-m＞0}\\{m＜3-m}\end{array}}\right.$，求解不等式组得到m值；
（Ⅱ）把A代入椭圆方程，求出m，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得m的范围，利用根与系数的关系得到B，C两点横坐标的和与积，结合$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0列式求得n值，验证后可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆G：（3-m）x²+my²=m（3-m），可得$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3-m}=1$，
由椭圆的焦点在y轴上，可得$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3-m＞0}\\{m＜3-m}\end{array}}\right.$，
解得：$0＜m＜\frac{3}{2}$，
∴m的取值范围是$0＜m＜\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵A（0，1）在椭圆G：（3-m）x²+my²=m（3-m）上，
∴m=m（3-m），
解得m=2或m=0（舍），
∴椭圆G：x²+2y²=2．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，消y并化简整理得3x²+4nx+2n²-2=0，
△=16n²-12（2n²-2）＞0，即-$\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$．
${x_1}+{x_2}=\frac{-4n}{3}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-2}}{3}$，
∵以BC为直径的圆过点A，
∴AB⊥AC，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+x₁（y₂-1）+（y₁-1）x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=$4{x}_{1}{x}_{2}+（2n-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（n-1）^{2}$=$\frac{4（2{n}^{2}-2）}{3}-\frac{4n（2n-2）}{3}+（n-1）^{2}$
=$\frac{3{n}^{2}+2n-5}{3}=0$，
解得：n=$-\frac{5}{3}$或n=1．
满足-$\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$．
∴直线l的方程为y=x$-\frac{5}{3}$或y=x+1．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．