Question

2．在空间直角坐标系Oxyz中，$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设$\overrightarrow{a}$为非零向量，且＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{i}$＞=45°，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{j}$＞=60°，则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞=60°．

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{i}=（1，0，0），\overrightarrow{j}=（0，1，0），\overrightarrow{k}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{a}=（x，y，z）$，结合＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{i}$＞=45°，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{j}$＞=60°，列式得到x，y，z的关系，然后再由数量积求夹角公式求得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞．

解答 解：由题意可设$\overrightarrow{i}=（1，0，0），\overrightarrow{j}=（0，1，0），\overrightarrow{k}=（0，0，1）$，
再设$\overrightarrow{a}=（x，y，z）$，
由＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{i}$＞=45°，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{j}$＞=60°，
得cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$，$cos60°=\frac{1}{2}=\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$，
即${x}^{2}=\frac{1}{2}（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）$，${y}^{2}=\frac{1}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）$，
解得${y}^{2}={z}^{2}=\frac{1}{2}{x}^{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞=$\frac{z}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}=\sqrt{\frac{{z}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}}{2{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞=60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是中档题．