Question

4．等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂分别为等差数列{b_n}的第1项和第2项，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）b₁=2，b₂=4，可得公差d=2．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=2，a₄=16．
∴2q³=16，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）证明：b₁=2，b₂=4，∴公差d=4-2=2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．