Question

17．已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}为等比数列，满足a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，若对于每一个正整数n，均有a_n=a₁+log_ab_n，则常数a=$\root{3}{3}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题意列式求得d，q的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入a_n=a₁+log_ab_n，求解即可得到a值．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+d=q}\\{3（3+4d）={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得d=6，q=9，
∴a_n=3+6（n-1）=6n-3，${b_n}={9^{n-1}}$，
代入a_n=a₁+log_ab_n得，
$6n-3=3+{log_a}{9^{n-1}}$，
即log_a9=6，
∴$a=\root{3}{3}$．
故答案为：$\root{3}{3}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了对数的运算性质，是基础题．