Question

8．已知圆C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1和两点A（-t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 可以设圆上一点P（x₀，y₀），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，k_AP•k_BP=-1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值．

解答 解：设P点坐标（x₀，y₀），k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+t}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}=-1$，
整理得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}={t}^{2}$，即$t=\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=${\sqrt{（{x}_{0}-0）^{2}+（{y}_{0}-0）}}^{2}$
由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，

如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，
A点坐标（$\sqrt{3}$，1）易知OA所在直线方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，联立圆的方程：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1，可得P点坐标（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
从而|OP|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，即t=1．故t的最小值为1．
故选：D．

点评 本题考察圆与直线方程的综合应用以及两点间距离公式，解决此类问题，注意采用数形结合思想，可较快得到答案．