Question

利用单位圆分别写出满足下列条件的角的集合：
（1）sinα＞-

1

2

；
（2）cosα＞

1

2

；
（3）tanα＞1．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据三角函数线的定义（1）过点（0，-

1

2

）作x轴的平行线交单位圆于P和P'，在[0，2π）内找出当当-

π

6

＜x＜

7π

6

时，sinα＞-

1

2

成立，再由终边相同的角的集合，即可得到所有满足条件的角的集合．
（2）找出余弦值等于

1

2

的角度对应的三角函数线，再利用终边相同角的余弦求满足条件的α值．
（3）过点（1，1）和原点作直线交单位圆于P和P′，找到对应的正切值为1的三角函数线，再根据终边相同角找出所有满足条件的角．

解答： 解：（1）如图所示，过点（0，-

1

2

）作x轴的平行线，交单位圆于P和P'，
则sin∠POx=sin∠P'Ox=-

1

2

∵在[0，2π）内，满足条件sinα=-

1

2

的∠P'Ox=

7π

6

，∠POx=

11π

6

观察图形可得：当-

π

6

＜x＜

7π

6

时，sinα＞-

1

2

成立，

∴满足条件sinα＞-

1

2

的角α的集合是{x|-

π

6

+2kπ＜x＜

7π

6

+2kπ，k∈Z}；
（2）∵在[0，2π）内，cos

π

3

=cos

5π

3

=

1

2

，由余弦线可知，
满足cosα＞

1

2

的终边在如图的弧内，

∴cosα＞

1

2

的解集为{α|-

π

3

+2kπ＜α＜2kπ+

π

3

}；
（3）过点（1，1）和原点作直线交单位圆于P和P′，

则射线OP、OP′就是满足tanα=1的角α的终边
∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx=π-

π

4

=，
∠P′Ox=

3π

4

∴满足条件tanα＞1的角α的集合是{x|

π

4

+kπ＜x＜

π

2

+kπ或

3π

4

+π＜x＜

5π

4

+kπ，k∈Z}．

点评：本题给出满足条件的角，要求利用单位圆找出角α的集合．着重考查了单位圆中的三角函数线、终边相同角的集合等知识，属于基础题．