Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，M，N为抛物线上两点，若△MNF是边长为2的正三角形，则p的值是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由方程可得焦点坐标，由对称性结合三角形的边角关系可得|

p

2

-

1

2p

|=

3

，解方程可得．

解答： 解：y²=2px的焦点F（

p

2

，0），（p＞0）
∵正三角形MNF的一个顶点位于抛物线的焦点F，另外两个顶点在抛物线上，
∴正三角形MNF关于x轴对称，∴M（x₀，1），由M（x₀，1）在抛物线上可得1=2px₀，
∴x₀=

1

2p

，∴焦点F到直线MN的距离|

p

2

-

1

2p

|=

3

，
解得p=2±

3

．
故答案为：2±

3

．

点评：本题考查抛物线的简单性质，涉及三角形的知识，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．