Question

已知函数f（x）=x-

1

x

-alnx
（1）若f（x）无极值点，求a的取值范围；
（2）设g（x）=x+

1

x

-（lnx）²，当a取（1）中的最大值时，求g（x）的最小值；
（3）证明不等式：

n

i=1

1

2i(2i+1)

＞ln

2n+1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：不等式的证明,利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用,推理和证明

分析：（1）求导函数，函数f（x）无极值，等价于方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，由此即可求a的取值范围；
（2）先证明x＞0时，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|，再换元，即可求函数g（x）的最小值；
（3）先证明

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

，再利用放缩法，即可得到结论．

解答： （1）解：求导函数，可得f′（x）=

x2-ax+1

x2

，
∵函数f（x）无极值，∴方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，
∴方程a=x+

1

x

在（0，+∞）上无根或有唯一根，
又x+

1

x

≥2（x=1取等号），故（x+

1

x

）_min=2，
∴a≤2；

（2）解：a=2时，f（x）=x-

1

x

-2lnx，g（x）=x+

1

x

-（lnx）²，
由（1）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x∈（0，1）时，f（x）=x-

1

x

-2lnx＜f（1）=0，即x-

1

x

＜2lnx＜0；
当x∈（1，+∞）时，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞f（1）=0，即x-

1

x

＞2lnx＞0；
∴x＞0时，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|，
令x²=t＞0，∴|

t

-

1

t

|≥|lnt|，
平方得t+

1

t

-2≥（lnt）²，∴t＞0时，t+

1

t

-2≥（lnt）²成立，当且仅当t=1时取等号，
∴当x=1时，函数g（x）取最小值2；

（3）证明：由上知，x＞1时，x+

1

x

-（lnx）²＞2，
∴x＞1时，

x

-

1

x

＞lnx成立，
令x=

2n+1

2n

，得

2n+1 2n

-

2n 2n+1

＞ln

2n+1

2n

，
即

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

，
∴不等式：

n

i=1

1

2i(2i+1)

＞ln

21+1

21

+…+ln

2n+1

2n

＞ln

21+2

21+1

+…+ln

2n+2

2n+1

=ln（2ⁿ•

20+1

21+1

•…•

2n-1+1

2n+1

）=ln

2n+1

2n+1

即

n

i=1

1

2i(2i+1)

＞ln

2n+1

2n+1

（n∈N^*）．

点评：本题考查导数知识的运用，函数函数的单调性与极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．