【题目】已知抛物线
上一点
到焦点
的距离
，倾斜角为
的直线经过焦点，且与抛物线交于两点
、
.
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）若为锐角，作线段
的中垂线
交
轴于点
.证明：
为定值，并求出该定值.
【答案】（1）抛物线的方程为
，准线方程为
；
（2）
为定值
，证明见解析.
【解析】
（1）利用抛物线的定义结合条件
，可得出
，于是可得出点
的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出
的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；
（2）设直线
的方程为
，设点
、
，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去
，列出韦达定理，计算出线段的中点
的坐标，由此得出直线
的方程，并得出点
的坐标，计算出
和
的表达式，可得出
，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.
（1）由抛物线的定义知，
，
.
将点
代入
，得
，得
.
抛物线的方程为，准线方程为；
（2）设点、，设直线的方程为，
由
，消去得：
，则
，
，
.
设直线中垂线的方程为：
，
令
，得：
，则点
，
，
.
，
故为定值.
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黄冈小状元满分冲刺微测验系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
的焦点为
，过的直线交
轴正半轴于点
，交抛物线于
两点，其中点
在第一象限.
（Ⅰ）求证：以线段
为直径的圆与轴相切；
（Ⅱ）若
,
,
，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
与椭圆相交于不同的两点
，已知点
的坐标为（
），点
在线段
的垂直平分线上，且
，求
的值查看答案和解析>>
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列说法中正确的个数是（ ）
①命题：“
、
，若
，则
”，用反证法证明时应假设
或
；
②若
，则
、
中至少有一个大于
；
③若
、、
、
、
成等比数列，则
；
④命题：“
，使得
”的否定形式是：“
，总有
”.
A.B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】对于定义在区间D上的函数
，若存在闭区间
和常数
，使得对任意
，都有
，且对任意
∈D，当
时，
恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.
（Ⅰ）判断函数
和
是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；
（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式
对一切
R恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若函数
是区间
上的“平底型”函数，求
和
的值.
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知定义在
的奇函数
满足：①
；②对任意
均有
；③对任意
，均有
.
（1）求
的值；
（2）利用定义法证明在
上单调递减；
（3）若对任意
，恒有
，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
，则关于
的方程
，给出下列五个命题：①存在实数
，使得该方程没有实根；
②存在实数，使得该方程恰有
个实根；
③存在实数，使得该方程恰有
个不同实根；
④存在实数，使得该方程恰有
个不同实根；
⑤存在实数，使得该方程恰有
个不同实根．
其中正确的命题的个数是( )
A. B. C. D.
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