【题目】已知定义在的奇函数
满足:①
;②对任意
均有
;③对任意
,均有
.
(1)求的值;
(2)利用定义法证明在
上单调递减;
(3)若对任意,恒有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)0(2)见解析(3)
【解析】
(1)用赋值法令,即可求解;
(2)根据函数的单调性定义,设,比较
大小,做差
,利用条件等式转化为一个函数值,或对
按已知等式赋值将函数值的差转化为一个函数值,判断该函数值的正负,即可得出结论;
(3)根据已知条件求出或
,利用函数的单调性,不等式转化为对任意
,不等式
或者
恒成立,令
,
,则
,
,则不等式等价于
……①或
……②对任意
恒成立,
,
,转化二次函数最值的不等量关系,即可求解.
解:(1)在中,
令;
(2)由题知:对任意都有
,
且对任意均有
证一:任取,则
,
因为,所以
,
所以,
即即
,也即
在
单调递减;
证二:任取,设
,
,
,
,
则,
因为,
所以
,即
,
也即在
单调递减;
(3)在中
令,
令,
,
而为奇函数,故
,
又在
及
上均单调递减,
因此原不等式等价于对任意,
不等式或者
恒成立,
令,
,则
,
,则不等式等价于
……①或
……②
对任意恒成立,
法一:令,
立,
开口向上,
则不等式①;
对于②,当时,由
,
即必不存在满足②.
综上,.
法二:
令,
,
开口向上,对称轴为
,
且,
,
,
1°当即
时,问题等价于
或
,解得
;
2°当即
时,
问题等价于或
,
解得;
3°当即
时,
问题等价于或
,
解得;
4°当即
时,
问题等价于或
,解得
;
综上,
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中,物理与历史的二选一是否与性别有关,某高中随机对该校50名高一学生进行了问卷调查得到相关数据如下列联表:
选物理 | 选历史 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 |
己知在这50人中随机抽取1人,抽到选物理的人的概率为。
(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性别有关?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式,其中
为样本容量)
(2)己知在选物理的10位女生中有3人选择了化学、地理,有5人选择了化学、生物,有2人选择了生物、地理,现从这10人中抽取3人进行更详细的学科意愿调查,记抽到的3人中选择化学的有X人,求随机变量X的分布列及数学期望。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况,在该批产品中随机抽取了120件样本,测量其增长长度(单位:),经统计其增长长度均在区间
内,将其按
,
,
,
,
,
分成6组,制成频率分布直方图,如图所示其中增长长度为
及以上的产品为优质产品.
(1)求图中的值;
(2)已知这120件产品来自于,B两个试验区,部分数据如下列联表:
将联表补充完整,并判断是否有99.99%的把握认为优质产品与A,B两个试验区有关系,并说明理由;
下面的临界值表仅供参考:
(参考公式:,其中
)
(3)以样本的频率代表产品的概率,从这批产品中随机抽取4件进行分析研究,计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望E(X).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线上一点
到焦点
的距离
,倾斜角为
的直线经过焦点
,且与抛物线交于两点
、
.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若为锐角,作线段
的中垂线
交
轴于点
.证明:
为定值,并求出该定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)求函数在
上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.求证:存在无穷多个互不相同的整数
,使得
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想。在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为
的结论。若根据欧拉得出的结论,估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数,
,计算结果取整数)
A. 768 B. 144 C. 767 D. 145
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx)(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)在区间(0,π)上的单调递增区间;
(2)若f(x0),x0∈[
,
],求cos2x0的值.
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