Question

【题目】如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.

（1）求证：面；

（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点.

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理证明出平面平面，再利用平面与平面平行的性质得出平面；

（2）由，，由二面角的定义得出，证明出平面平面，过点在平面内作，可证明出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为求出的值，由此确定点的位置.

（1）在矩形中，，又平面，平面，

平面，同理可证平面，

，、平面，平面平面，

平面，平面；

（2）在矩形中，，又，则矩形所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为，即.

又，平面，

作于，平面，，

又，、平面，平面.

作于，，，，

，，，.

以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，

则、，设.

则，，

设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，则平面的一个法向量为.

.又平面的一个法向量为，，

解得或（舍去）.

此时，， 即所求点为线段的中点.